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工業数学のノートを英語で取る、いわゆる試行錯誤

学校が始まりました。
そのことに関してはまた別の機会に述べるとして、授業のノートの話。
工業数学とはその名の通り工業系の数学の授業です。

さて、数学だ。
結構基本的なことも多い授業。
それならノートだって英語で取れるんじゃないだろうか。
というわけで英語で取ってみたのだけれどもいろいろ難しいな。
とりあえず一度目の授業で使った英語についてまとめておこう。

複素関数
 Complex function / function of Complex variables

Cは演算、加法と乗法が閉じている
 C is closure for addition and multiplication

複素単位
 imaginary unit

複素平面
 Complex plnae, Complex number plane, Gauss plane.

積と和が同等
 Product is equivalent to addition.

絶対値と偏角
 Absolute value and argument

複素共役
 Complex conjugate

三角不等式
 Triangle inequality

Cの位相
 a phase of C

複素数z1とz2の距離
 a difference between z1 and z2

複素点列の収束
 convergence of points sequence

点αのε近傍
 a epsilon neighborhood of point alpha belongs to C

英語は適当に書いた物なので、間違い有り。
イメージはこんな感じでいいのだろうか。
まぁ数式がメインだしなぁ・・・
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数学の話のメモ

数学の試験の超ダイジェスト版メモ。

無限大とかの話
加算無限と非加算無限
 整数Zとの一対一対応がつくかどうか
すべての有理数はいくらでも小さい幅で覆うことが出来る
 点なのでε/2、ε/4・・・で覆える
 この幅をすべて足すとε→0
(0,1)にあるすべての点
 これは非加算無限個
 対角線
有理数の切断 α=(A,A')
 条件1. すべての有理数はAまたはA'に入る
 条件2. Aの要素aとA’の要素a’ではa<a’
 その種類として両方が入らないモノが存在→無理数
無理数による切断
 √2は無理数
  √2より大きい有理数集合に最小はない
  √2より小さい有理数集合に最大はない
  これが無理数による切断
実数の大小の定義
 二つの切断α=(A,A’)とβ=(B,B’)でAとBの包含関係
実数の稠密性
 有理数は既知、片方が有理数でもう一方が無理数なら上の議論
 両方無理数なら自明
Dedekindの定理
 実数の切断に両方含まれないパターンがない
  実数の切断の中の有理数切断と稠密を用いて証明
  必ずAに入ればmanでA’に入ればmin

Weierstrass
 すべてより小さい→下界、すべてより大きい→上界
 下界の最大→下限、上界の最小→上限
 上下に有界→下界と上界を持つ
 Weierstrassの定理→有界ならば上限下限を持つ
  証明はある切断α=(A,A’)、Aを下界すべて、A’をそれ以外
  これが実数の切断になる
  よってαはmaxAまたはminA'になる。
  稠密よりmaxAでなければならない

数列
 収束→ε-δ
 有界単調増加列は収束する
  ある上限a0としてa0-εは上界ではない。a0-an<ε
 自然体数の底eの存在
  有界であり、単調増加→存在してe
 Cauchy列
  あるところから先はいくらでも小さい範囲に収まる
  Cauchy列なら収束列、収束列ならCauchy列

集積点
 ある点aのε近傍に無限の点があれば集積点
 すべての集積点が集合に入っていれば閉集合
 閉集合の補集合が開集合
 有界区間に無限個の点があれば少なくとも一つの集積点が存在
  二つに区切ったどちらかに無限個存在
  分割を繰り返すと領域の両端はそれぞれ単調増加、単調減少
  ある一転の両方とも収束してそれが集積点
 有界区間に無限個の点があれば集積点に収束する数列が取れる
  ある集積a0のε近傍に無限個の点が存在する。
  よってεを1,1/2、1/4、・・・と無限に小さくしていき、それぞれから点を選ぶ。
  するとそれが集積点に収束する数列
 Bolzano-Weierstrassの定理
  有界な数列には収束する部分列が取れる
   有限個な点であれば、それぞれの点ばかりを集めた各数列が存在する
   無限個の点であれば、集積点が存在し、そこに収束する部分列が取れる
 Cauchy列が収束することの証明
  有界列なので部分列が取れて |an-a0| <= |an-ank| - |ank- a0| < 2ε

連続関数
 εーδ、 数列をかましてもいい
 数列をかますと lim f(xn) = f( lim xn ) = f(x0) がいえる
 連続関数f(x)について成り立つモノ
  f(x0)>0でx0で連続なら、x0の近傍でf(x)>0
  中間値の定理 f(a)<0 f(b) >0 なら a 開区間で連続ならば有界
  f(x1)>1 なる x1 
  f(x2)>2 なる x2 ただし x1 < x2
   ・・・
  n->∞で無限個の点列
  部分列はある集積点に収束→f(xnk)はf(c)に収束
  f(c)は有限、よって有界
 開区間で連続なら最大最小を持つ
  有界なのでMと置く
  M-1 < f(x1) < M
  M-1/n < f(xn) < M
  n->∞で無限個の点列
  両辺はMへ収束
  部分列もf(c)へ収束。
  よってM<=f(c)<=Mというのが最大値
 Rolleの定理
 平均値の定理

一様連続
 関数が連続なら一様連続である
   |x1-x1'| < 1 → |f(x1)-f(x1')| < ε0
   |xn-xn'| < 1 → |f(xn)-f(xn')| < ε0
  この点列は無限個存在
  ある部分列はある収束点x0に両方とも収束する
  |xnk - x0| <= |xn'k-xnk| + |xnk - x0|
         <= 1/nk + 0 → 0(n,k→∞)
  よって|f(xnk)-f(xn'k)|>= ε0(一様収束ではないという仮定)
limk |f(xnk)-f(xn'k)|| >= ε0
               0 >= ε0 ここでε0>0という仮定と矛盾

微分可能とは
 f(x0+h) = f(x0) + αh + o(h)/hという式で、h→0のとき、αが微分係数、o(h)/h→0なら微分可能

積分
 Riemann和が収束して、その値が定積分
 Riemann和はなぜ収束するか
  |SΔm - SΔn| < ε
  →Cauchy列
  →収束値が存在して定積分

ベクトルの変換則とテンソル

あぁ、テンソルよ難しい。

vec06.jpg

あるベクトルuとvを考える。
そのuとvの間にAを用いた関係が存在する。
これをそれぞれベクトルの変換則で変換すると・・・?


変換後の新しいベクトルu'とv'の間にも、ある関係A'が存在するとする。
このAをテンソルと呼ぶ。


具体的には

vec07.jpg


と書ける。
この関係式が成り立つ量をテンソルと呼ぶ。(2階のテンソル)

そういえばベクトルは

vec05.jpg

こうやって書けた。
逆にこの変換則が成り立つものをベクトルと呼ぶ。(1階のテンソル)


逆にこれらの変換に対して値が不変なものをスカラーと呼ぶ(0階のテンソル)

ベクトルの変観則

直交座標系を別の直交座標系に変換する。
元の座標系と新しい座標系は’で区別する。

vec01.jpg

二つの座標系にて xi'軸のxk軸に対する方向余弦を aik とする。
すると二つの単位ベクトル列は次の計算で変換できる。

vec02.jpg


一般のベクトルはどのように変換されるか。
一般のベクトルは座標の値と単位ベクトルを用いて

vec03.jpg

とそれぞれ書ける。
これは次のように代入していける。

vec04.jpg

よって一般のベクトルの変換則は次のようになる。

vec05.jpg



※余談
 普通こういう話をするとき、Σはアインシュタインの規約で略しちゃうのが普通なんだけど
 そうすると自分がよくわからなくなるので、いちおうΣで。

 アインシュタインの規約、って名前が一般的だと思ってたんだけどぐぐってもあんまり。
 アインシュタインの総和規約?それとも総和規約?まぁいっか。
 同じ添え字は1から3まで足すΣがついているっていう規約で

  ei' = aki ek

 って書ける。

TERM No.14

集積点
 Accumulating Point

 点aが集合Sの集積点である
   ←→∀ε、aのε近傍にSの点が無限個存在する。

※aのε近傍 Bε(a)
 Bε(a)={ x | | x - a | < ε }


例 S=(0,1)の集積点は[0,1]
 0や1のように下の集合Sに入っていなくても集積点は大丈夫。


※Sの集積点が存在すれば、それはすべてSに含まれる
 ←→Sが閉集合

※開集合
 ←→閉集合の補集合

TERM No.5

5.実数の大小の定義

・実数 = 無理数の集合U有理数の集合
・有理数の切断を実数に対応させる

・実数の大小関係は集合の包含関係による
 α=(A,A')、β=(B,B')とする。
  a in A not in B, b in B not in A
  then a in B' -> b < a
  then b in A' -> a < b
  矛盾が発生

・よって次のようにする
 ・A ⊂ B : a < b
 ・A = B : a = b
 ・A ⊃ B : a > b
・実数も線形順序集合

TERM No.4

4.有理数の切断α=(A,A')

・有理数の性質
  有理数は四則演算が閉じている
  大小関係がある線形順序集合
  可算無限個
  稠密

・稠密
  p,q∈Qとしてp  →p,qの区間をNで割って細分化すれば自明

・√2は無理数
 性質 √2より大きい有理数の集合に最小はない
     √2より小さい有理数の集合に最大はない


有理数の切断α=(A,A')
 条件1.すべての有理数はAまたはA'に入る
 条件2.aがAに、a'がA'に入るならa
4パターン
 ・Aに最小、A'に最大がある→稠密よりなし
 ・Aに最小があるがA'に最大はない→OK
 ・Aに最小はないがA'に最大はある→OK
 ・Aに最小、A'に最大はない
   これが成り立つのが無理数である。無理数による切断という
   たとえば√2のように、それより大きい集合にも
   小さい集合にも最大最小はなかった場合に当たる

・有理数を切断することで実数の概念が生まれる
・ところで実数を切断することはできるだろうか

TERM No.3

3.(0,1)にあるすべての数は非可算無限
・有理数までは可算無限
・10^可算無限は可算無限ではない
・無理数は非可算無限

・対角線論法→[0,1]の実数は可算無限かどうか→NG

・すべての実数は1桁目10、2桁目10、・・・可算無限
・つまり10^可算無限は非可算無限

TERM No.2

2.すべての有理数は可算無限で、いくらでも小さい幅で覆える

・有理数は線形順序集合
・[0,1)にどれくらいの有理数と無理数が分布しているのだろうか
・有理数(点)はとても小さい範囲εで覆うことが出来る

・有理数の先頭からε/2、ε/4、ε/8・・・・で覆う
・よってε(1/2+1/4+・・・・)→ε
・∀ε、よって→0でおk。

・つまり[0,1)はほとんど無理数

TERM No.1

自然現象と数学 TERM No.1 無限大

・可算無限 N Z Q
・非可算無限 R C
・集合の密度が同じ→1対1対応がつく

・可算無限の基準 自然数N
・可算無限×可算無限 可算無限(対角線@格子)
・格子の一般式 (m+n-1)(m+n-2)/2+n


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