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TERM No.4

4.有理数の切断α=(A,A')

・有理数の性質
  有理数は四則演算が閉じている
  大小関係がある線形順序集合
  可算無限個
  稠密

・稠密
  p,q∈Qとしてp  →p,qの区間をNで割って細分化すれば自明

・√2は無理数
 性質 √2より大きい有理数の集合に最小はない
     √2より小さい有理数の集合に最大はない


有理数の切断α=(A,A')
 条件1.すべての有理数はAまたはA'に入る
 条件2.aがAに、a'がA'に入るならa
4パターン
 ・Aに最小、A'に最大がある→稠密よりなし
 ・Aに最小があるがA'に最大はない→OK
 ・Aに最小はないがA'に最大はある→OK
 ・Aに最小、A'に最大はない
   これが成り立つのが無理数である。無理数による切断という
   たとえば√2のように、それより大きい集合にも
   小さい集合にも最大最小はなかった場合に当たる

・有理数を切断することで実数の概念が生まれる
・ところで実数を切断することはできるだろうか
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