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数学の話のメモ

数学の試験の超ダイジェスト版メモ。

無限大とかの話
加算無限と非加算無限
 整数Zとの一対一対応がつくかどうか
すべての有理数はいくらでも小さい幅で覆うことが出来る
 点なのでε/2、ε/4・・・で覆える
 この幅をすべて足すとε→0
(0,1)にあるすべての点
 これは非加算無限個
 対角線
有理数の切断 α=(A,A')
 条件1. すべての有理数はAまたはA'に入る
 条件2. Aの要素aとA’の要素a’ではa<a’
 その種類として両方が入らないモノが存在→無理数
無理数による切断
 √2は無理数
  √2より大きい有理数集合に最小はない
  √2より小さい有理数集合に最大はない
  これが無理数による切断
実数の大小の定義
 二つの切断α=(A,A’)とβ=(B,B’)でAとBの包含関係
実数の稠密性
 有理数は既知、片方が有理数でもう一方が無理数なら上の議論
 両方無理数なら自明
Dedekindの定理
 実数の切断に両方含まれないパターンがない
  実数の切断の中の有理数切断と稠密を用いて証明
  必ずAに入ればmanでA’に入ればmin

Weierstrass
 すべてより小さい→下界、すべてより大きい→上界
 下界の最大→下限、上界の最小→上限
 上下に有界→下界と上界を持つ
 Weierstrassの定理→有界ならば上限下限を持つ
  証明はある切断α=(A,A’)、Aを下界すべて、A’をそれ以外
  これが実数の切断になる
  よってαはmaxAまたはminA'になる。
  稠密よりmaxAでなければならない

数列
 収束→ε-δ
 有界単調増加列は収束する
  ある上限a0としてa0-εは上界ではない。a0-an<ε
 自然体数の底eの存在
  有界であり、単調増加→存在してe
 Cauchy列
  あるところから先はいくらでも小さい範囲に収まる
  Cauchy列なら収束列、収束列ならCauchy列

集積点
 ある点aのε近傍に無限の点があれば集積点
 すべての集積点が集合に入っていれば閉集合
 閉集合の補集合が開集合
 有界区間に無限個の点があれば少なくとも一つの集積点が存在
  二つに区切ったどちらかに無限個存在
  分割を繰り返すと領域の両端はそれぞれ単調増加、単調減少
  ある一転の両方とも収束してそれが集積点
 有界区間に無限個の点があれば集積点に収束する数列が取れる
  ある集積a0のε近傍に無限個の点が存在する。
  よってεを1,1/2、1/4、・・・と無限に小さくしていき、それぞれから点を選ぶ。
  するとそれが集積点に収束する数列
 Bolzano-Weierstrassの定理
  有界な数列には収束する部分列が取れる
   有限個な点であれば、それぞれの点ばかりを集めた各数列が存在する
   無限個の点であれば、集積点が存在し、そこに収束する部分列が取れる
 Cauchy列が収束することの証明
  有界列なので部分列が取れて |an-a0| <= |an-ank| - |ank- a0| < 2ε

連続関数
 εーδ、 数列をかましてもいい
 数列をかますと lim f(xn) = f( lim xn ) = f(x0) がいえる
 連続関数f(x)について成り立つモノ
  f(x0)>0でx0で連続なら、x0の近傍でf(x)>0
  中間値の定理 f(a)<0 f(b) >0 なら a 開区間で連続ならば有界
  f(x1)>1 なる x1 
  f(x2)>2 なる x2 ただし x1 < x2
   ・・・
  n->∞で無限個の点列
  部分列はある集積点に収束→f(xnk)はf(c)に収束
  f(c)は有限、よって有界
 開区間で連続なら最大最小を持つ
  有界なのでMと置く
  M-1 < f(x1) < M
  M-1/n < f(xn) < M
  n->∞で無限個の点列
  両辺はMへ収束
  部分列もf(c)へ収束。
  よってM<=f(c)<=Mというのが最大値
 Rolleの定理
 平均値の定理

一様連続
 関数が連続なら一様連続である
   |x1-x1'| < 1 → |f(x1)-f(x1')| < ε0
   |xn-xn'| < 1 → |f(xn)-f(xn')| < ε0
  この点列は無限個存在
  ある部分列はある収束点x0に両方とも収束する
  |xnk - x0| <= |xn'k-xnk| + |xnk - x0|
         <= 1/nk + 0 → 0(n,k→∞)
  よって|f(xnk)-f(xn'k)|>= ε0(一様収束ではないという仮定)
limk |f(xnk)-f(xn'k)|| >= ε0
               0 >= ε0 ここでε0>0という仮定と矛盾

微分可能とは
 f(x0+h) = f(x0) + αh + o(h)/hという式で、h→0のとき、αが微分係数、o(h)/h→0なら微分可能

積分
 Riemann和が収束して、その値が定積分
 Riemann和はなぜ収束するか
  |SΔm - SΔn| < ε
  →Cauchy列
  →収束値が存在して定積分
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