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開き直ってまとめるとこんな感じ@複素関数

cf01.jpg

cf02.jpg

cf03.jpg

cf04.jpg

created by Taki using LaTeX

No.2 確率空間

集合族
 集合を要素とする集合

集合列
 A1 A2 A3 A4 ・・・ {Ai}

標本空間Ω
 可能な結果全体
 Ωの要素ωを標本点と呼ぶ

ボレル集合族
 Ωの部分集合からなる集合族Βが次の公理を満たすとき
 ΒをΩの部分集合からなるボレル集合族と呼ぶ。

公理
(1)Ω∊Β
(2)A∊Β → A!∊Β (!は補集合)
(3)Ai∊Β → ∪Ai∊Β (∪はi=1~∞)
その他の性質
(4)φ∊Β
(5)A、B∊Β → A∪B、A∩B∊Β



n次元ボレル集合族
 R×R×・・・×R(実数空間Rのn乗)の半区間(a,b]から成る
 最小のボレル集合族をn次元ボレル集合族といいΒのn乗であらわす。(Β^n)
 Β^nに含まれる集合をn次元ボレル集合と呼ぶ。

可測空間
 標本空間Ωの部分空間Eがボレル集合族Βに属するとき
 Eを可測事象(事象)と呼び、(Ω,Β)を可測空間と呼ぶ

確率
 起こりやすさを示す量
 集合Eに伴う量

No.1 上極限集合/下極限集合

集合列 {Ai} → A1 A2 A3 A4 A5・・・・を考える。

和集合 A∪B
積集合 A∩B

などの集合演算の他にも、集合の演算はあるらしいのです。
それが上極限集合limsupと下極限集合liminfの二つ。


limsupinf.jpg


1.limsup
定義は集合列{Ai}に対して

limsup Ai = ∩∪Ai (∩:n=1→∞、∪:i=n→∞)



具体的に書くと

(A1∪A2∪A3∪・・・)∩(A2∪A3∪A4∪・・・)∩(A3∪A4∪A5∪・・・)



となります。

ある要素ωが上極限集合に属すること=集合列{Ai}のうちの無限個の集合にωが属する
上極限集合は集合列{Ai}の無限個の集合に属するすべての要素からできる集合

limsupinf2.jpg

∞までではなく6までの図。
これらの和集合すべての積集合が上極限集合(n→∞)
これに属するなら、{Ai}のうち無限個のAiに属するといっています。

1→無限まで∩2→無限まで∩3→無限まで・・・というのが定義式。
これを満たすには∞個のAkに入っていないとだめです。


仮に上の例でωが1→3までしか入っていないとします。すると1→6の例として

A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6
   A2∪A3∪A4∪A5∪A6
       A3∪A4∪A5∪A6
           A4∪A5∪A6
   A5∪A6
                ∪A6

のすべてに含まれていて、6→∞のとき初めて上極限集合には含まれます。
今の例ではωはωはA1、A2、A3にしか入っていませんので上極限集合には入りません。
結局ωがA1、A2、A3、・・・・・∞のすべてに入っていないと上極限集合の要素にはなりません。
よって上極限集合に属するなら、無限個のAiに属するといえます。


2.liminf
定義は集合列{Ai}に対して

liminf Ai = ∪∩Ai (∩:n=1→∞、∪:i=n→∞)



具体的に書くと

(A1∩A2∩A3∩・・・)∪(A2∩A3∩A4∩・・・)∪(A3∩A4∩A5∩・・・)



となります。

ある要素ωが下極限集合に属すること=あるn'よりも大きいnなるすべてのAnに属する
下極限集合は集合列{Ai}のほとんどすべてに属する要素すべてから出来ている集合です。

今、簡単化のためにA4⊂A3⊂A2⊂A1とします。
下極限集合の定義で、4→無限と考えるとき

liminf = (A1∩A2∩A3∩A4)∪(A2∩A3∩A4)∪(A3∩A4)∪(A4) (4→無限)

みたいなイメージになります。
ωが下極限集合に含まれる→∪でつながる項のどれか一つに含まれればよい。

1:A1∩A2∩A3∩A4
2:A2∩A3∩A4
3:A3∩A4
4:A4

下極限集合にωが入るとは、このどれか一つに入ればいいので、例えば3を選べば
 ω∈A3∩A4 → A3とA4に含まれる。
つまり


1.ωが下極限集合に含まれる
 ↓
2.ωは∩Aiのどれかに含まれる
 ↓
3.例えばある数k=3を考えて、A3∩A4∩A5∩・・・に含まれる
 ↓
4.A3、A4、A5、・・・(3以上の集合列の要素)にωは含まれる



よって


ある要素ωが下極限集合に属すること=あるn'よりも大きいnなるすべてのAnに属する
下極限集合は集合列{Ai}のほとんどすべてに属する要素すべてから出来ている集合


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